D19 二分图最大匹配 • EH's Blog

题目情境#

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3386 ↗

题目描述

给定一个二分图，其左部点的个数为 $n$ ，右部点的个数为 $m$ ，边数为 $e$ ，求其最大匹配的边数。

左部点从 $1$ 至 $n$ 编号，右部点从 $1$ 至 $m$ 编号。

输入格式

输入的第一行是三个整数，分别代表 $n$ ， $m$ 和 $e$ 。

接下来 $e$ 行，每行两个整数 $u, v$ ，表示存在一条连接左部点 $u$ 和右部点 $v$ 的边。

输出格式

输出一行一个整数，代表二分图最大匹配的边数。

输入 #1

1 1 1
1 1

plaintext

输出 #1

plaintext

算法解析：#

匈牙利算法求二分图最大匹配：对每个左部点尝试匹配一个右部点，若该右部点已被匹配，则递归尝试让它的原配重新寻找新的右部点（即寻找增广路），成功则匹配数 +1。复杂度 $O(ne)$ 。

Dinic算法的复杂度少一个根号n。

C++代码实现#

//
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define N 1010
#define M 2000010
using namespace std;

int n,m,k,S,T;
struct edge{int v,c,ne;}e[M];
int h[N],idx=1; //从2,3开始配对
int d[N],cur[N];

void add(int a,int b,int c){
  e[++idx]={b,c,h[a]};
  h[a]=idx;
}
bool bfs(){ //对点分层，找增广路
  memset(d,0,sizeof d);
  queue<int>q; 
  q.push(S); d[S]=1;
  while(q.size()){
    int u=q.front(); q.pop();
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
      int v=e[i].v;
      if(d[v]==0 && e[i].c){
        d[v]=d[u]+1;
        q.push(v);
        if(v==T)return true;
      }
    }
  }
  return false;
}
int dfs(int u, int mf){ //多路增广
  if(u==T) return mf;
  int sum=0;
  for(int i=cur[u];i;i=e[i].ne){
    cur[u]=i; //当前弧优化
    int v=e[i].v;
    if(d[v]==d[u]+1 && e[i].c){
      int f=dfs(v,min(mf,e[i].c));
      e[i].c-=f; 
      e[i^1].c+=f; //更新残留网
      sum+=f; //累加u的流出流量
      mf-=f;  //减少u的剩余流量
      if(mf==0)break;//余量优化
    }
  }
  if(sum==0) d[u]=0; //残枝优化
  return sum;
}
int dinic(){ //累加可行流
  int flow=0;
  while(bfs()){
    memcpy(cur, h, sizeof h);
    flow+=dfs(S,1e9);
  }
  return flow;
}
int main(){
  int a,b,c;
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
  while(k--){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    add(a,b+n,1);add(b+n,a,0);
  }
  S=0;T=n+m+1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    add(S,i,1),add(i,S,0);
  for(int i=1;i<=m;i++)
    add(i+n,T,1),add(T,i+n,0); 
  printf("%lld\n",dinic());
  return 0;
}

dinic:

//
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1010
#define M 2000010
using namespace std;

int n,m,k,S,T;
struct edge{int v,c,ne;}e[M];
int h[N],idx=1; //从2,3开始配对
int d[N],cur[N];

void add(int a,int b,int c){
  e[++idx]={b,c,h[a]};
  h[a]=idx;
}
bool bfs(){ //对点分层，找增广路
  memset(d,0,sizeof d);
  queue<int>q; 
  q.push(S); d[S]=1;
  while(q.size()){
    int u=q.front(); q.pop();
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){
      int v=e[i].v;
      if(d[v]==0 && e[i].c){
        d[v]=d[u]+1;
        q.push(v);
        if(v==T)return true;
      }
    }
  }
  return false;
}
int dfs(int u, int mf){ //多路增广
  if(u==T) return mf;
  int sum=0;
  for(int i=cur[u];i;i=e[i].ne){
    cur[u]=i; //当前弧优化
    int v=e[i].v;
    if(d[v]==d[u]+1 && e[i].c){
      int f=dfs(v,min(mf,e[i].c));
      e[i].c-=f; 
      e[i^1].c+=f; //更新残留网
      sum+=f; //累加u的流出流量
      mf-=f;  //减少u的剩余流量
      if(mf==0)break;//余量优化
    }
  }
  if(sum==0) d[u]=0; //残枝优化
  return sum;
}
int dinic(){ //累加可行流
  int flow=0;
  while(bfs()){
    memcpy(cur, h, sizeof h);
    flow+=dfs(S,1e9);
  }
  return flow;
}
int main(){
  int a,b,c;
  scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
  while(k--){
    scanf("%d%d",&a,&b);
    add(a,b+n,1);add(b+n,a,0);
  }
  S=0;T=n+m+1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    add(S,i,1),add(i,S,0);
  for(int i=1;i<=m;i++)
    add(i+n,T,1),add(T,i+n,0); 
  printf("%lld\n",dinic());
  return 0;
}