A14 归并排序、逆序对 • EH's Blog

题目情境#

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1908 ↗

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 $a_i>a_j$ 且 $i<j$ 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

输入格式

第一行，一个数 $n$ ，表示序列中有 $n$ 个数。

第二行 $n$ 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 $10^9$ 。

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

输入输出样例

输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

plaintext

输出 #1

plaintext

说明/提示

对于所有数据， $1 \leq n \leq 5 \times 10^5$ 。

算法解析#

归并排序

主要利用分治思想，时间复杂度 $O(nlogn)$

对数列不断等长拆分，直到一个数的长度。
回溯时，按升序合并左右两段。
重复以上两个过程，直到递归结束。

Python代码实现#


import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)

def merge(l, r):
    global res, a, b
    if l >= r:
        return
    mid = (l + r) // 2
    merge(l, mid)
    merge(mid + 1, r)

    i = l; j = mid + 1; k = l
    while i <= mid and j <= r:
        if a[i] <= a[j]:
            b[k] = a[i]
            k += 1; i += 1
        else:
            b[k] = a[j]
            k += 1; j += 1
            res += mid - i + 1
    while i <= mid:
        b[k] = a[i]
        k += 1; i += 1
    while j <= r:
        b[k] = a[j]
        k += 1; j += 1
    for i in range(l, r + 1):
        a[i] = b[i]

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
b = [0] * n
res = 0
merge(0, n - 1)
print(res)

python

C++代码实现#

#include <iostream>
using namespace std;

int n,a[500010],b[500010];
long long res;

void merge(int l,int r){
  if(l>=r) return;
  int mid=l+r>>1;
  merge(l,mid);
  merge(mid+1,r); //拆分

  int i=l,j=mid+1,k=l; //合并
  while(i<=mid && j<=r){
    if(a[i]<=a[j]) b[k++]=a[i++];
    else b[k++]=a[j++], res+=mid-i+1;
  }
  while(i<=mid) b[k++]=a[i++];
  while(j<=r) b[k++]=a[j++];
  for(i=l; i<=r; i++) a[i]=b[i];
}

int main(){
  cin>>n;
  for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
  merge(0,n-1);
  printf("%lld\n",res);
}